Μεθοδολογία εύρεσης ιδιοτιμών-ιδιοδιανυσμάτων και διαγωνοποίηση πίνακα

Παρακαλώ αν χρησιμοποιήσετε το υλικό μας ενισχύστε την εικόνα μας στα social media.

Θεωρία - Παραδείγματα

• Ερώτημα (α)
  Έστω,
  • \(\Omega\) το σύνολο των λύσεων της \(x_1+x_2+x_3=15\) με \(x_1,x_2,x_3\in\mathbb{N}\)
  • \(A_1\) το σύνολο των λύσεων της \(x_1+x_2+x_3=15\) με \(x_1,x_2,x_3\in\mathbb{N}\) και \(x_1\geq7\)
  • \(A_1\) το σύνολο των λύσεων της \(x_1+x_2+x_3=15\) με \(x_1,x_2,x_3\in\mathbb{N}\) και \(x_2\geq5\)
  Θέλουμε να βρούμε το πλήθος των στοιχείων του \(A'_1A'_2\), \(N(A'_1A'_2)\). Σύμφωνα με την αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού ισχύει: \[N(A'_1A'_2)=Ν(\Omega)-N(A_1)-N(A_2)+N(A_1A_2)\] Έχουμε,
  • \[Ν(\Omega)=\left( \begin{array}{c} 3+15-1 \\ 15 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} 17 \\ 15 \end{array} \right) \]
  • Για το \(A_1\) θέτουμε \(x_1=x'_1+5\) και έτσι η εξίσωση γίνεται \(x'_1+x_2+x_3=8\) με \(x'_1,x_2,x_3\in\mathbb{N}\). Το πλήθος των λύσεων της ισούται με: \[Ν(Α_1)=\left( \begin{array}{c} 3+8-1 \\ 8 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} 10 \\ 8 \end{array} \right) \]
  • Για το \(A_2\) θέτουμε \(x_2=x'_1+7\) και έτσι η εξίσωση γίνεται \(x_1+x'_2+x_3=11\) με \(x_1,x'_2,x_3\in\mathbb{N}\). Το πλήθος των λύσεων της ισούται με: \[Ν(Α_2)=\left( \begin{array}{c} 3+11-1 \\ 11 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} 13 \\ 11 \end{array} \right) \]
  • Για το \(Α_1A_2\) θέτουμε \(x_1=x'_1+5,x_2=x'_1+7\) και έτσι η εξίσωση γίνεται \(x'_1+x'_2+x_3=3\) με \(x_1,x'_2,x_3\in\mathbb{N}\). Το πλήθος των λύσεων της ισούται με: \[Ν(Α_1Α_2)=\left( \begin{array}{c} 3+3-1 \\ 3 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right) \]
  Συνεπώς, \[N(A'_1A'_2)=\left( \begin{array}{c} 17 \\ 15 \end{array} \right)- \left( \begin{array}{c} 10 \\ 8 \end{array} \right)- \left( \begin{array}{c} 13 \\ 11 \end{array} \right)+ \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right) \]
• Ερώτημα (β)
  
  • Για \(n=k\) έχουμε, \[\sum_{j=k}^k \left( \begin{array}{c} j \\ k \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} n+1 \\ k+1 \end{array} \right)\iff \] \[\iff\left( \begin{array}{c} j \\ k \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} k+1 \\ k+1 \end{array} \right)\iff 1=1\] ,που ισχύει.
  • (επαγωγική υπόθεση) Έστω ότι η πρόταση ισχύει για \(n\geq k\) δηλαδή, \[\sum_{j=k}^n \left( \begin{array}{c} j \\ k \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} n+1 \\ k+1 \end{array} \right) \]
  • Θα δείξουμε ότ ισχύει για \(n+1\geq k\) δηλαδή, \[\sum_{j=k}^{n+1} \left( \begin{array}{c} j \\ k \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} n+2 \\ k+1 \end{array} \right) \] Είναι, \[\sum_{j=k}^{n+1} \left( \begin{array}{c} j \\ k \end{array} \right)=\sum_{j=k}^{n} \left( \begin{array}{c} j \\ k \end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array} \right)= \] (από επαγωγική υπόθεση) \[\left( \begin{array}{c} n+1 \\ k+1 \end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} n+2 \\ k+1 \end{array} \right).\]
• Ερώτημα (γ)
  Έχουμε, \[\sum_{k=0}^{n} \left( \begin{array}{c} n+k \\ k \end{array} \right)=\] επειδή, \(\left( \begin{array}{c} n+k \\ k \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} n+k \\ n \end{array} \right)\) \[\sum_{k=0}^{n} \left( \begin{array}{c} n+k \\ n \end{array} \right)=\] (θέτωντας \(j=n+k\) ) \[\sum_{j=n}^{2n} \left( \begin{array}{c} j \\ n \end{array} \right)=\] (από το προηγούμενο ερώτημα) \[\left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ n+1 \end{array} \right)=\] επειδή, \(\left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ n+1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ n \end{array} \right)\) \[=\left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ n \end{array} \right)\]

ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΠΡΟΣΕΧΩΣ!

Αν ενδιαφέρεστε για πανεπιστημιακά ιδιαίτερα, μπορείτε να επικοινωνήσετε μαζί μας για να σας κάνουμε ειδική προσφορά.

MHN ΞΕΧΝΑΤΕ! Εγγυώμαστε τη χαμηλότερη τιμή. Αν βρείτε κάποια μικρότερη από εμάς θα αναπροσαρμόσουμε αντίστοιχα τη δική μας.