Processing math: 100%

Μεθοδολογία εύρεσης ιδιοτιμών-ιδιοδιανυσμάτων και διαγωνοποίηση πίνακα

Παρακαλώ αν χρησιμοποιήσετε το υλικό μας ενισχύστε την εικόνα μας στα social media.
Θεωρία - Παραδείγματα

Επιμέλεια: Δ. Παναγόπουλος

Θέματα Διακριτών Μαθηματικών Τμήματος Ψηφιακών Συστημάτων Ιούνιος 2015


Θέματα Διακριτών Μαθηματικών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Ιουνίου 2015 σελίδα 1
Θέματα Διακριτών Μαθηματικών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Ιουνίου 2015, σελίδα 1.

Θέματα Διακριτών Μαθηματικών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Ιουνίου 2015 σελίδα 2
Θέματα Διακριτών Μαθηματικών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Ιουνίου 2015, σελίδα 2.
Θέμα 1 - Λύση
  • Ερώτημα (α)
    Έστω,
    • Ω το σύνολο των λύσεων της x1+x2+x3=15 με x1,x2,x3N
    • A1 το σύνολο των λύσεων της x1+x2+x3=15 με x1,x2,x3N και x17
    • A1 το σύνολο των λύσεων της x1+x2+x3=15 με x1,x2,x3N και x25
    Θέλουμε να βρούμε το πλήθος των στοιχείων του A1A2, N(A1A2). Σύμφωνα με την αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού ισχύει: N(A1A2)=Ν(Ω)N(A1)N(A2)+N(A1A2) Έχουμε,
    • Ν(Ω)=(3+15115)=(1715)
    • Για το A1 θέτουμε x1=x1+5 και έτσι η εξίσωση γίνεται x1+x2+x3=8 με x1,x2,x3N. Το πλήθος των λύσεων της ισούται με: Ν(Α1)=(3+818)=(108)
    • Για το A2 θέτουμε x2=x1+7 και έτσι η εξίσωση γίνεται x1+x2+x3=11 με x1,x2,x3N. Το πλήθος των λύσεων της ισούται με: Ν(Α2)=(3+11111)=(1311)
    • Για το Α1A2 θέτουμε x1=x1+5,x2=x1+7 και έτσι η εξίσωση γίνεται x1+x2+x3=3 με x1,x2,x3N. Το πλήθος των λύσεων της ισούται με: Ν(Α1Α2)=(3+313)=(53)
    Συνεπώς, N(A1A2)=(1715)(108)(1311)+(53)
  • Ερώτημα (β)
    • Για n=k έχουμε, kj=k(jk)=(n+1k+1) (jk)=(k+1k+1)1=1 ,που ισχύει.
    • (επαγωγική υπόθεση) Έστω ότι η πρόταση ισχύει για nk δηλαδή, nj=k(jk)=(n+1k+1)
    • Θα δείξουμε ότ ισχύει για n+1k δηλαδή, n+1j=k(jk)=(n+2k+1) Είναι, n+1j=k(jk)=nj=k(jk)+(n+1k)= (από επαγωγική υπόθεση) (n+1k+1)+(n+1k)=(n+2k+1).
  • Ερώτημα (γ)
    Έχουμε, nk=0(n+kk)= επειδή, (n+kk)=(n+kn) nk=0(n+kn)= (θέτωντας j=n+k ) 2nj=n(jn)= (από το προηγούμενο ερώτημα) (2n+1n+1)= επειδή, (2n+1n+1)=(2n+1n) =(2n+1n)

ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΠΡΟΣΕΧΩΣ!

Αν ενδιαφέρεστε για πανεπιστημιακά ιδιαίτερα, μπορείτε να επικοινωνήσετε μαζί μας για να σας κάνουμε ειδική προσφορά.

low prices guarantee

MHN ΞΕΧΝΑΤΕ! Εγγυώμαστε τη χαμηλότερη τιμή. Αν βρείτε κάποια μικρότερη από εμάς θα αναπροσαρμόσουμε αντίστοιχα τη δική μας.