Μεθοδολογία εύρεσης ιδιοτιμών-ιδιοδιανυσμάτων και διαγωνοποίηση πίνακα

Παρακαλώ αν χρησιμοποιήσετε το υλικό μας ενισχύστε την εικόνα μας στα social media.

Θεωρία - Παραδείγματα

Για την εύρεση των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων ενός πίνακα Α ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:
• Βήμα 1 Βρίσκουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο \(p(\lambda)\) του πίνακα υπολογίζοντας την αρίζουσα: \[|\lambda I-A|\]
• Βήμα 2 Βρίσκουμε τις ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου
• Βήμα 3 Για κάθε ρίζα \(\lambda\) του χαρακτηριστικόυ πολυωνύμου λύνουμε το γραμμικό σύστημα \[(A-\lambda I)X=0\] Οι λύσεις αποτελούν τον ιδιόχωρο της συγκεκριμένης ιδιοτιμής. ΠΡΟΣΟΧΗ! Πρέπει πάντα να έχουμε άπειρες λύσεις. Αν αυτό δε συμβαίνει κάπου έχουμε κάνει λάθος. Για να βρούμε συγκεκριμένα ιδιοδιανύσματα βρίσκουμε μια βάση του ιδιοχώρου.

Αν στο βήμα 3 έχουμε βρει τόσα ιδιοδιανύσματα όσα και η διάσταση του πίνακα, τοτε ο πίνακας διαγωνοποιείται. Για τη διαγωνοποίηση του πίνακα Α γράφουμε ότι: \[Α=PDP^{-1}\] όπου ο D είναι ένας διαγώνιος πίνακας που έχει για στοιχεία της κυρίας διαγωνίου τις ιδιοτιμές και P ένας πίνακας με στήλες τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα.
ΠΡΟΣΟΧΗ! Πρέπει να βάλουμε τις στήλες στη σωστή σειρά: για πρώτη στήλη βάζουμε ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην πρώτη ιδιοτιμή που γράψαμε στη διαγώνιο του D, για δεύτερη ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στη δεύτερη ιδιοτιμή κλπ.

Παράδειγμα 1

Δίνεται ο παρακάτω πίνακας: \[Α=\left[ \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} \right]\]
1. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α.
2. ΕΝα διαγωνοποιηθεί ο πίνακας Α.

Λύση

1. Έχουμε.
   Βήμα 1. Εύρεση χαρακτηριστικού πολυωνύμου.
   \[|\lambda I-Α|=\left| \begin{array}{cc} \lambda-3 & -1 \\ -2 & \lambda-2 \end{array} \right|=(\lambda-3)(\lambda-2)-2=\lambda^2-5\lambda+6-2\] \[=\lambda^2-5\lambda+4\]
   Βήμα 2. Εύρεση ριζών χαρακτηριστικού πολυωνύμου.
   Οι λύσεις της εξίσωσης \[\lambda^2-5\lambda+4=0\] είναι οι \(\lambda=1,\lambda=4\)
   Βήμα 3. Εύρεση ιδιοτιμών.
   Για την ιδιοτιμή \(\lambda=1\) έχουμε το σύστημα: \[(Α-1I)X=\] \[\left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right]\] \[\left.\begin{aligned} 2x +y &= 0 \\ 2x + y &= 0 \end{aligned}\right\}\Leftrightarrow y=-2x,x\in\mathbb{R}\] Άρα τα ιδιοδιανύσματα είναι της μορφής \((x,-2x)=x(1,-2),x\in\mathbb{R}\).
   Για την ιδιοτιμή \(\lambda=4\) έχουμε το σύστημα: \[(Α-4I)X=\] \[\left[ \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right]\] \[\left.\begin{aligned} -x +y &= 0 \\ 2x -2y &= 0 \end{aligned}\right\}\Leftrightarrow y=x,x\in\mathbb{R}\] Άρα τα ιδιοδιανύσματα είναι της μορφής \((x,x)=x(1,1),x\in\mathbb{R}\).
2. Έχουμε βρει δύο διαφορετικές ιδιοτιμές άρα και δύο διαφορετικά ιδιοδιανύσματα τα οποία αποτελούν βάση των αντίστοιχων ιδιοτιμών. Συνεπώς ο πίνακας Α διαγωνοποιείται και έχουμε: \[Α=PDP^{-1}\] όπου, \[D=\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{array} \right], P\left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{array} \right]\]

Αν ενδιαφέρεστε για πανεπιστημιακά ιδιαίτερα, μπορείτε να επικοινωνήσετε μαζί μας για να σας κάνουμε ειδική προσφορά.

MHN ΞΕΧΝΑΤΕ! Εγγυώμαστε τη χαμηλότερη τιμή. Αν βρείτε κάποια μικρότερη από εμάς θα αναπροσαρμόσουμε αντίστοιχα τη δική μας.