Μαθηματικό Αθήνας 19 Φεβρουαρίου 2015

Παρακαλώ αν χρησιμοποιήσετε το υλικό μας ενισχύστε την εικόνα μας στα social media.

Θέματα - Λύσεις

Θέμα 1

1. Έστω \(\Omega\in\mathbb{C}\) τόπος και \(f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}\) ολόμορφη συνάρτηση, ώστε \(f'(z)=0\) για κάθε \(z\in\Omega\). Αποδείξτε λεπτομερώς ότι η \(f\) είναι σταθερή.
2. Έστω \(g:\Delta(0,0,1)\rightarrow\mathbb{C}\) ολόμορφη μη σταθερή συνάρτηση, ώστε \(g\left(\frac{1}{n}\right)=0\) για κάθε \(n=2,3,\ldots\). Αποδείξτε ότι η \(g\) έχει ουσιώδη ανωμαλία στο 0. δώστε ένα τέτοιο παράδειγμα.

Λύση

1. Θεωρία
2. Έστω ότι η \(g\) δεν έχει ουσιώδη ανωμαλία στο 0. Τότε, ή υπάρχει ολόμορφη \(f:\Delta(0,1)\rightarrow\mathbb{C}\) με \(f(z)=g(z)\) για κάθε \(z\in\Delta(0,1,1)\) ή υπάρχουν \(k\) φυσικός \(z\geq 1\) και \(f:\Delta(0,1)\rightarrow\mathbb{C}\) ώστε \(g(z)=\frac{f(z)}{z^k},z\in\Delta(0,0,1)\) και \(f(0)\neq0\).
   • Στην πρώτη περίπτωση έχουμε ότι η \(f\) ταυτίζεται με τη μηδενική συνάρτηση στο σύνολο \(\left\{\frac{1}{n}\right\}_{n=2}^{+\infty}\). Από την αρχή μοναδικότητας και επειδή το σύνολο αυτό έχει για σημείο συσσώρευσης το \(0\in\Delta(0,1)\) έχουμε ότι η \(f\) είναι ταυτοτικά ίση με τη μηδενική.
   • Στη δεύτερη περίπτωση έχουμε όμοια ότι \[f\left(\frac{1}{n}\right)=g\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)^k=0,n=2,3,\ldots\] Πάλι από την αρχή μοναδικότητας και επειδή το σύνολο αυτό έχει για σημείο συσσώρευσης το \(0\in\Delta(0,1)\) έχουμε ότι η \(f\) είναι ταυτοτικά ίση με τη μηδενική.
   Σε κάθε περίπτωση έχουμε ότι \(g(z)=0\) για κάθε \(z\in\Delta(0,0,1)\). Άτοπο, αφόυ έχουμε ότι η \(g\) δεν είναι σταθερή. Ένα παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης είναι η \[f(z)=sin\left(\frac{\pi}{z}\right),z\in\Delta(0,0,1)\]

Θέμα 2

1. 1. Έστω \(\Omega\subseteq\mathbb{C}\) ανοικτό και κυρτό σύνολο και \(f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}\) συνεχής συνάρτηση ώστε \(\int_{\vartheta T}f(z)dz=0\) για κάθε τρίγωνο \(T\subseteq\Omega\). Αποδείξτε ότι η \(f\) έχει παράγουσα.
   2. Περιγράψτε όλα τα βήματα που οδηγούν στο τοπικό θεώρημα του Cauchy.
2. Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει ολόμορφη συνάρτηση \(h:\Delta(0,1,2)\rightarrow\mathbb{C}\) ώστε \(\left(h(z)\right)^2=z\) για κάθε \(z\in\Delta(0,1,2)\).

Λύση

1. Θεωρία
2. Έστω ότι υπάρχει \(h:\Delta(0,1,2)\rightarrow\mathbb{C}\) ώστε \(\left(h(z)\right)^2=z\) για κάθε \(z\in\Delta(0,1,2)\). Τότε, \[\left(\left(h(z)\right)^2\right)'=1\] \[2h(z)h'(z)=1\] \[\frac{h(z)h'(z)}{\left(h(z)\right)^2}=\frac{1}{2z}\] \[\frac{h'(z)}{h(z)}=\frac{1}{2z}\] για κάθε \(z\in\Delta(0,1,2)\). Αν \(\gamma(t)=re^{it},t\in[0,2\pi]\) είναι ένας κύκλος κέντρου 0 και ακτίνας \(r\in (1,2)\), τότε για το δείκτη στροφής γύρω από το μηδέν της καμπύλης \(f(\gamma(t))\) έχουμε \[\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{h'(z)}{h(z)}dz=\frac{1}{2}\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{z}dz=\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2}\] Άτοπο, αφού ο δείκτης στροφής είναι ακέραιος.

Περισσότερα θέματα προσεχώς...

Αν ενδιαφέρεστε για πανεπιστημιακά ιδιαίτερα, μπορείτε να επικοινωνήσετε μαζί μας για να σας κάνουμε ειδική προσφορά.

MHN ΞΕΧΝΑΤΕ! Εγγυώμαστε τη χαμηλότερη τιμή. Αν βρείτε κάποια μικρότερη από εμάς θα αναπροσαρμόσουμε αντίστοιχα τη δική μας.